Аддитивность интеграла по множеству

Если $f(x)$ - интегрируема на $[a, b]$, то $\forall{c \in (a, b)}\mathpunct{:}~~ f(x)$ - интегрируема на $[a, c]$ и $[c, b]$. Наоборот, если $\exists{c \in (a, b)}\mathpunct{:}~~ f(x)$ - интегрируема на $[a, c]$ и $[c, b]$, то $f(x)$ - интегрируема на $[a, b]$. Причём: $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx$$

$\Large\implies$ Рассмотрим: $$\tau = \{a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{k-1} < x_{k} = c < x_{k+1} < \dots < x_{n} = b\}$$ Тогда: - $\tau_{1} = \{a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{k} = c\}$ - разбиение $[a, c]$ - $\tau_{2} = \{c = x_{k} < x_{k+1} < \dots < x_{n} = b\}$ - разбиение $[c, b]$ Так как $\overline{S}_{\tau} = \overline{S}_{\tau_{1}} + \overline{S}_{\tau_{2}}$ (аналогично с нижней суммой) и по критерию интегрируемости $\overline{S}_{\tau} - \underline{S}_{\tau} < \varepsilon$, значит: $$(\overline{S}_{\tau_{1}} + \overline{S}_{\tau_{2}}) - (\underline{S}_{\tau_{1}} + \underline{S}_{\tau_{2}}) = (\overline{S}_{\tau_{1}} - \underline{S}_{\tau_{1}}) + (\overline{S}_{\tau_{2}} - \underline{S}_{\tau_{2}}) < \varepsilon$$ Следовательно $f(x)$ - интегрируема на $[a, c]$ и $[c, b]$ по критерию интегрируемости. $\Large\impliedby$ Аналогично, но в обратную сторону. **Разбиение интеграла на сумму**. Пусть $I = \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$, ${} I_{1} = \int\limits_{a}^{c} f(x) \, dx {}$, $I_{2} = \int\limits_{c}^{b} f(x) dx$. Тогда: $$\begin{align} \forall{\varepsilon > 0}\mathpunct{:}~~ |I - (I_{1} + I_{2})| &= |I - S(f, \tau, \xi) + S(f, \tau_{1}, \xi) + S(f, \tau_{2}, \xi) - I_{1} - I_{2}| \\ &\leq |I - S(f, \tau, \xi)| + |I_{1} - S(f, \tau_{1}, \xi)| + |I_{2} - S(f, \tau_{2}, \xi)| \\ &< \varepsilon \end{align}$$ Следовательно: $I = I_{1} + I_{2} ~~~\square$